已知A,B,C,D是平面上两两距离不超过1的四个点，问半径最小应该多少的圆才能覆盖上述四点。 证明 设A，B，C，D是满足条件的四点，能覆盖它们的圆的半径为R.考虑四点凸包。(1)若A，B，C，D四点中有一点，设为D在△ABC的内部或边界上，若△ABC为锐角三角形，则有一角，设∠A≥60°，2R=a/sinA≤1/[√3)/2] ，R≤1/√3，特别地当AB+CA+AB=1时，R=1/√3。比它 展开
已知A,B,C,D是平面上两两距离不超过1的四个点，问半径最小应该多少的圆才能覆盖上述四点。 证明 设A，B，C，D是满足条件的四点，能覆盖它们的圆的半径为R.考虑四点凸包。(1)若A，B，C，D四点中有一点，设为D在△ABC的内部或边界上，若△ABC为锐角三角形，则有一角，设∠A≥60°，2R=a/sinA≤1/[√3)/2] ，R≤1/√3，特别地当AB+CA+AB=1时，R=1/√3。比它小的不可能覆盖此点。若△ABC为钝角三角形或直角三角形，则以最长的边为直角的圆能覆盖此四点，故有R≤1/2<1/√3.(2)若凸包为四边形，设为凸四边形ABCD。若有一对对角，∠A，∠C均大于90°，则以BD为直径的圆能覆盖此四点，故有R≤1/2<1/√3.若上述情况不发生，凸四边形ABCD四个内角必有一个，设为∠D≥90°，则∠B<90°，又∠A，∠C中至少有一个，设为∠A<90°，考察∠ADB，∠ACB两角，不妨设∠ADB>∠ACB，若∠ADB>∠ACB≥90°，以AB为直径的圆可覆盖此四点，故有R≤1/2<1/√3.若∠ADB>∠ACB，∠ACB<90°，则D点必在锐角△ABC的外接圆圆内或圆周上，该圆半径R≤1/√3。综上所述, 覆盖平面上两两距离不超过1的任意四点的最小半径R≤1/√3。 收起
