初中竞赛证明题

设x,y,z是三个互不相等的正整数， 求证: 在xy(x^2-y^2), yz(y^2-z^2), zx(z^2-x^)三个数中，至少有一个数能被10整除。 证明 由于xy(x^2-y^2)=xy(x+y)(x-y), yz(y^2-z^2)=yz(y+z)(y-z), zx(z^2-x^2)=zx(z+x)(z-x) ， 当x,y,z都是奇数时，x^2-y^2，y^2-z^2，z^2-x^2三个数均为偶数。 当x为偶数,y,z奇数时，三个数均为偶数;当x,y为偶数,,z奇数时，三个数均为偶数;当x,y,z均为偶数，三个数均为偶数. 于是，对任何整数x,y,z,xy(x^2-y^2),yz(y^2-z^2),zx(z^2-x^)三个数均为偶数. 由2与5互质，只要证明三个数中至少有一个是5的倍数即可。 当x,y,z中有一个是5的倍数，则结论显然成立。 当x,y,z中都不是5的倍数，则它们必为5m±1，5m±2形式的数[m为整数]，则 (5m+1)^2-(5m-1)^2=20m， (5m+2)^2-(5m-2)^2=40m, 从而x^2-y^2，y^2-z^2，z^2-x^2中至少有一个是5的倍数，结论成立。 收起