在ΔABC中，∠A=3∠B,∠C为钝角, 三边长都是整数.试求周长的最小值。解 设BC=a,CA=b,AB=c，y/x=(c^2+a^2-b^2)/(ac) ，由余弦定理得:2cosB=(c^2+a^2-b^2)/(ac) (1)再由正弦定理得:a/b==sin3B/sinB=cos2B+2(cosB)^2=4(cosB)^2-1=(y^2-x^2)/x^2c/b=sin4B/sinB=4c 展开
在ΔABC中，∠A=3∠B,∠C为钝角, 三边长都是整数.试求周长的最小值。解 设BC=a,CA=b,AB=c，y/x=(c^2+a^2-b^2)/(ac) ，由余弦定理得:2cosB=(c^2+a^2-b^2)/(ac) (1)再由正弦定理得:a/b==sin3B/sinB=cos2B+2(cosB)^2=4(cosB)^2-1=(y^2-x^2)/x^2c/b=sin4B/sinB=4cosB*cos2B=(2cosB)^3-4cosB=y(y^2-2x^2)/x^3故a/[x(y^2-x^2)]=b/x^3=c/[ y(y^2-2x^2)] 。我们需求ΔABC周长2s=a+b+c的最小值，则有a=x(y^2-x^2) ，b=x^3，c=y(y^2-2x^2)2s=x(y^2-x^2)+x^3+y(y^2-2x^2)=y(y+2x)(y-x) 。因为∠C为钝角，则90°<180°-4∠B<180°，0<∠B<22.5°由此有 2cos22.5°<2cosB=y/x<2，<==>1.84x<y<2x。满足上式的整点(x,y) 在射线:y=1.84x与y=2x所夹的区域内，这时必须满足:2x-1,84x>1，所以x≥7，那么得:x=7，y=13。验证得:b=343，a=840，c=923.故ΔABC周长2s=a+b+c的最小值为:343+840+932=2106. 收起
