初中竞赛几何问题二

设I,O分别三角形ABC的内心和外心,OI⊥AI的充要条件是:2BC=AB+AC.证一[此证法用到的知识点较多]设R,r是三角形ABC的外接与内切圆半径,2s=a+b+c.则有IO^2=R^2-2Rr,AO=R,AI=bc(s-a)/s,4Rr=abc/s.则 OI⊥AI <==>R^2=R^2-2Rr+bc(s-a)/s<===>abc/2s=bc(s-a)/s<==>a=2(s-a) <==>2a=b+c.证二 延长AI,交三角形ABC的外接圆于D,走BD,CD.易证DB=DI=DC.根据托勒密定理BC*AD=BD*AC+CD*AB<==>a(AI+ID)=b*BD*+c*CD=ID*(b+c)于是 2a=b+c <==>AD=2ID,<==>I是AD的中点<===>OI⊥AI. 收起