设A,B,C为三角形的三个内角，证明 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2≥3/4. 9/4≥(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2上述两个不等式是等价的.由已知三角形三角恒等式:(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosA*cosB*cosC所证不等式又等价于1≥8cosA*cosB*cosC (1)下面用射影定理来证明.显然钝角三角 展开
设A,B,C为三角形的三个内角，证明 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2≥3/4. 9/4≥(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2上述两个不等式是等价的.由已知三角形三角恒等式:(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosA*cosB*cosC所证不等式又等价于1≥8cosA*cosB*cosC (1)下面用射影定理来证明.显然钝角三角形成立,仅需证明锐角三角形情况.因为a^2=[b*cosC+c*cosB]^2≥4bc*cosB*cosC;(2-1) b^2=[c*cosA+a*cosC]^2≥4ca*cosC*cosA;(2-2) c^2=[a*cosB+b*coab]^2≥4bc*cosA*cosB. (2-3) (2-1)*(2-2)*(2-3),开方即得(1). 收起
