高中三角不等式

证明 设a,b,c为正实数，令(cosx)^2=a^2/(a^2+b^2+c^2)，(cosy)^2=b^2/(a^2+b^2+c^2)，(cosz)^2=c^2/(a^2+b^2+c^2)。则得(sinx)^2=(b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2)，(siny)^2=(c^2+a^2)/(a^2+b^2+c^2，(sinz)^2=(a^2+b^2)/(a^2+b^2+c^2)。所以所求不等式置换后等价于a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)>=3/2 (1)由Cauchy不等式得a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2>=(a^2+b^2+c^2)^2/[2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)]故欲证(1)式只需证2(a^2+b^2+c^2)^2>=6(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)<==>2(a^4+b^4+c^4)>=2(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)<==>(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+(a^2-b^2)^2>=0.上式显然成立。 收起