高中竞赛不等式问题

简证 当n=2时，左边=2[1/(2+1)^2+1/(2+2)^2]=25/72。当n≥3时，由恒等式:(n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+n)^2=n^3+2nΣn+Σn^2=n^3+n^2*(n+1)+n(n+1)((2n+1)/6=n(2n+1)(7n+1)/6即[(n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+n)^2]/[n(2n+1)(7n+1)/6]=1及柯西不等式得:[(n+1)^2+...+(n+n)^2]/[n(2n+1)(7n+1)/6][1/(n+1)＾2+…+1/(n+n)^2]>6n^2/[(2n+1)(7n+1)]=6/[(2+1/n)(7+1/n)≥6/[(2+1/3)*(7+1/3)]=27/77>25/72.综上，所证不等式成立。 收起