初中-几何难题

设P为△ABC内一点, 且∠BPC=∠CPA=∠APB，求证: (PA-PB)^2+(PB-PC)^2+(PC-PA)^2>=(AB-BC)^2+(BC-CA)^2+(CA-AB)^2 证明 因为∠BPC=∠CPA=∠APB,∠BPC+∠CPA+∠APB=360°,则得∠BPC=∠CPA=∠APB=120°.故P点是△ABC的费马点。设BC=a,CA=b,AB=c,PA=x,PB=y,PC=z，则有a^2=y^2+z^2+yz;b^2=z^2+x^2+zx;c^2=x^2+y^2+xy.故得:a^2+b^2+c^2=2(x^2+y^2+z^2)+(yz+zx+xy) (1)所证不等式等价于(x^2+y^2+z^2)-(yz+zx+xy)≥(a^2+b^2+c^2)-(bc+ca+ab).<==>bc+ca+ab≥(x+y+z)^2 (2)易证下列三个局部不等式:bc≥x^2+yz+x(y+z)/2;(3)ca≥y^2+zx+y(z+x)/2;(4)ab≥z^2+xy+z(x+y)/2. (5)(3)+(4)+(5)即得(2)。。 收起