三角形面积不等式

设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上与顶点A，B，C不重合的任意三点，记△ABC，△DEF，△AEF，△BFD，△CDE的面积分别为S，T，X，Y，Z。 求证 ST^2≥4XYZ。 证明 设AF/FB=k，BD/DC=n，CE/EA=m。则AF=k*AB/(1+k)，BF=AB/(1+k);CE=m*CA/(1+m)，AE=CA/(1+m);BD=n*BC/(1+n)，CD=BC/(1+n).X/S=k/(1+k)*(1+m),Y/S=n/(1+n)*(1+k),Z/S=m/(1+m)*(1+n)。所以得X*Y*Z/S^3=knm/[(1+k)*(1+n)*(1+m)]^2 (2)又因为T/S=1-X/S-Y/S-Z/S=(1+knm)/(1+k)*(1+n)*(1+m) (3)根椐恒等式(2)与(3)，所证不等式等价于(1+knm)^2/[(1+k)(1+n)(1+m)]^2≥4knm/[(1+k)(1+n)(1+m)]^2 <==>(1+knm)^2≥4knm<===>(1-kmn)^2≥0 收起