三角形不等式

设三角形三边长为a,b,c, 且a+b+c=4，求证:a^2+b^2+c^2+abc<8。 证明 因为a,b,c是三角形三边长,所以b+c-a>0, c+a-b>0,a+b-c>0.首先将所证不等式齐次化处理，即2(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)+8abc<(a+b+c)^3<====>a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)-a^3-b^3-c^3-2abc>0<====>(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c)>0.显然成立。 收起