竞赛习题 在ΔABC中，求证: cos[(B-C)/2]+cos[(C-A)/2]+cos[(A-B)/2]≤(2/√3)*[cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)] 证明 不妨设A/2=α，B/2=β，C/2=γ，则上式左边为cos[(B-C)/2]+cos[(C-A)/2]+cos[(A-B)/2]=[(sinα+sinβ+sinγ)^2+(cosα+cosβ+cosγ)^2-3 展开
竞赛习题 在ΔABC中，求证: cos[(B-C)/2]+cos[(C-A)/2]+cos[(A-B)/2]≤(2/√3)*[cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)] 证明 不妨设A/2=α，B/2=β，C/2=γ，则上式左边为cos[(B-C)/2]+cos[(C-A)/2]+cos[(A-B)/2]=[(sinα+sinβ+sinγ)^2+(cosα+cosβ+cosγ)^2-3]/2 由Jensen不等式易证:sinα+sinβ+sinγ≤3sin[(α+β+γ)/3]=3/2.所以(sinα+sinβ+sinγ)^2+(cosα+cosβ+cosγ)^2-3≤(cosα+cosβ+cosγ)^2-3/4.令cosα+cosβ+cosγ=t，所以cos[(B-C)/2]+cos[(C-A)/2]+cos[(A-B)/2]≤(t^2-3/4)/2≤2t/√3.<==>t^2-4t/√3-3/4≤0解得: t≤3√3/2.由Jensen不等式易证:cosα+cosβ+cosγ≤3cos[(α+β+γ)/3]=3√3/2.故原不等式成立. 收起
