初中几何-2

设与△ABC三边AB，BC，CA内侧分别相切，且又和△ABC的外接圆相切的三个圆半径分别为x,y,z，△ABC的外接圆和内切圆半径分别R,r,半周长为s。 求证:16xyz=Rs^2。 证明 设BC=a，CA=b,AB=c, s, △分别为半周长和面积，O为△ABC的外接圆圆心.令圆Q与AB内侧和△ABC的外接圆相切, 圆Q的半径为x，连OA,OB和OQ，延长OQ分别交AB和外接圆O于D,E. 则2x=DE=OE+OD=R-RcosC=R(1+cosC)=2Rs*(s-c)/ab. (1)故得x=Rs*(s-c)/ab. (1)同理可得:y=Rs(s-a)/bc;(2)z=Rs(s-b)/ca (3)(1)*(2)*(3)得:xyz=R^3*s^3*(s-a)*(s-b)*(s-c)/(abc)^2据三角形恒等式: (s-a)(s-b)(s-c)=sr^2,abc=4Rsr,得 xyz=R^3*s^4*r^2/(16R^2*s^2*r^2)=Rs^2/2故得 16xyz=Rs^2. 收起