几何证明恒等式

设ABCD是圆外切梯形，E是它的对角线交点，r1，r2，r3，r4分别是三角形ABE，BCE，CDE，DAE的内切圆半径。求证:1/r1+1/r3=1/r2+1/r4证明 设AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AE=p，BE=m，CE=q，DE=n。又设三角形ABE，BCE，CDE，DAE的面积分别为S1，S2，S3，S4。则r1=2S1/(a+p+m);r2=2S2/(b+m+q);r3=2S3/(c+q+n);r4=2S4/(d+n+p).因为 S1=S3，所以1/r1+1/r3=(a+c+AC+BD)/(2S1).因为S2/S1=q/p，所以S2=S1(q/p)。同理:S4=S1(n/m)又b/q=d/p，m/q=n/p，d/n=d/m，p/n=q/m.于是1/r2+1/r4=[p(b+m+q)/q+m(d+n+p)/n]/(2S1)1/r2+1/r4=[pb/q+pm/q+md/n+mp/n+p+m]/(2S1)1/r2+1/r4=[d+n+b+q+p+m]/(2S1)=(b+d+AC+BD)/(2S1)因为a+c=b+d，所以1/r1+1/r3=1/r2+1/r4. 收起