寻求几何证明方法

不等式法：证明：因为A、B、C为三角形三内角，a、b、c为三角形三边所以0〈∠A、∠B、∠C〈π且a、b、c〉0由公式a^2+b^2≥2ab可得a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac（当且仅当a=b=c的时候取等号）又因为正弦定理S=1/2·ab·sinC=1/2·bc·sinA=1/2·ac·sinB因此ab+bc+ac=2S(1/sinA+1/sinB+1/sinC)所以a^2+b^2+c^2≥2S(1/sinA+1/sinB+1/sinC)当且仅当a=b=c，即∠A=∠B=∠C的时候取等号。当∠A=∠B=∠C=π/3时，sinA=sinB=sinC=√3 /22S(1/sinA+1/sinB+1/sinC)=4√3S可得a^2+b^2+c^2≥4√3S 收起

寻求几何证明方法 在ΔABC中，S表示ΔABC的面积，BC=a,CA=b,AB=c。寻求几何证明 a^2+b^2+c^2≥4√3*S 解析几何法设ΔABC的三顶点坐标分别为A(xa,ya),B(xb,yb),C(xc,yc)，则有不等式:(xa)^2+(xb)^2+(xc)^2+(ya)^2+(yb)^2+(yc)^2-xa*(yb+yc)-xb*(yc+ya)-xc*(ya+yb) ︱xa ya 1︱>=√3 *︱xb yb 1︱ ︱xc yc 1︱几何法以BC为边向ΔABC内侧作正ΔBCD，连AD。在ΔACD中，由余弦定理得:AD^2=AC^2+CD^2-2AC*CD*cos(∠BCA-∠BCD)=b^2+a^2-2ab*cos(60°-C)=b^2+a^2-2ab*[(a^2+b^2-c^2)/(4ab)+√3*S/(ab)]=b^2+a^2-(a^2+b^2-c^2)/2-2√3*S=(a^2+b^2+c^2)/2-2√3*S=[a^2+b^2+c^2-4√3*S]/2所以得:a^2+b^2+c^2≥4√3*S.下面提供的一种几何证法，对ΔABC的最大角有限制，即max(A,B,C)<120°.证明 以BC，CA，AB为边分别向ΔABC形外作正ΔDBC,ΔECA,ΔFAB，正ΔDBC,ΔECA,ΔFAB的中心分别为P,Q,R。连BP,CP，CQ,AQ，AR,BR。根据三角形面积公式得:S(PBC)=√3*a^2/12，S(QCA)=√3*b^2/12，S(RAB)=√3*c^2/12，设O点为费马点，因为max(A,B,C)<120°，故O点必在形内,连AO,BO,CO。则∠BOC=∠COA=∠AOB=120°. 易证D,B,O,C四点共圆，易证O点到BC的距离不大于P到BC的距离，即有 S(BPC)≥S(BOC).同理可得:S(CQA))≥S(COA).S(ARB)≥S(AOB).上述三式相加即得所不等式。设max(A,B,C)<120°的ΔABC的费马点为P，G为ΔABC的的重心。S表示ΔABC的面积，令PA=x,PB=y,PC=z，则4S=√3*(yz+zx+xy)，2(x+y+z)^2=a^2+b^2+c^2+4√3Sx^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(yz+zx+xy)=(a^2+b^2+c^2)/2-2√3S/3.再由x^2+y^2+z^2>=GA^2+GB^2+GC^2(a^2+b^2+c^2)/2-2√3S/3>=(a^2+b^2+c^2)/3<==>a^2+b^2+c^2≥4√3*S. 收起