几何证明题

是高中的题么？那可以用平面向量证，应该是最简单的了~证:建立直角坐标系，不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)延长△ABC的三条边BC，CA，AB至A’，B’,C’ 三点，使CA’/BC=AB’/CA=BC’/AB=k(k≠0)则A,B,C分别分向量B'C,向量C'A,向量A'B所成比例=k所以A'[(1+k)x2-kx1,(1+k)y2-ky1]，B'[(1+k)x1-kx3,(1+k)y1-ky3)]，C'[(1+k)x3-kx2,(1+k)y3-kx2]设△ABC,△A'B'C'的重心分别是O,O'则由重心的性质，向量OA+向量OB+向量OC=0O[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3]向量OA'+向量OB'+向量OC'=0设O'(x,y)则x=[(1+k)x2-kx1+(1+k)x1-kx3+(1+k)x3-kx2]/3=(x1+x2+x3)/3y=[(1+k)y2-ky1+(1+k)y1-ky3+(1+k)y3-ky2]/3=(y1+y2+y3)/3所以O,O'重合即△ABC与△A’B’C’ 有公共重心 收起

延长△ABC的三条边BC，CA，AB至A'，B',C' 三点，使CA'/BC=AB'/CA=BC'/AB，求证: △ABC与△A'B'C' 有公共重心。证明 设D,E分别是BC与C'A'的中点，AD与B'E交于G，连ED并延长交AB于F。直线EDF截△A'BC'，由梅涅劳斯定理得:(C'E/EA’)*(A'D/DB)*(BF/FC')=1因为C'E=EA'，所以A’D/DB=C'F/BF <==>(A'D-BD)/BD=(C'F-BF)/BF,又因BD=CD，故A'C/BD=C'B/BF.据己知条件: CA'/BC=BC'/AB，故BD/BC=BF/AB=1/2.所以DF=CA/2,DF∥CA，DE=AB’/2,DE∥AB’.由此可得:AG/GD==B’G/GE=2/1，因此G是△ABC与△A’B’C’ 的公共重心。证毕。 收起