三角形问题 在△ABC中，满足 (sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3的充要条件是A,B,C三内角成等差数列. 证明 因为A,B,C成等差数列，设2B=A+C，则B=60°,A+C=120°.sinA+sinB+sinC-√3*(cosA+cosB+cosC)=sin(A-60°)+sin(B-60°)+sin(C-60°)=sin(60°-C)+sin(C-60 展开
三角形问题 在△ABC中，满足 (sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3的充要条件是A,B,C三内角成等差数列. 证明 因为A,B,C成等差数列，设2B=A+C，则B=60°,A+C=120°.sinA+sinB+sinC-√3*(cosA+cosB+cosC)=sin(A-60°)+sin(B-60°)+sin(C-60°)=sin(60°-C)+sin(C-60°)=0所以(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3.若(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3.据三角形恒等式:sinA+sinB+sinC=s/R, cosA+cosB+cosC=(R+r)/R.即 s=√3*(R+r). (1)s=2R*sinB+r*cot(B/2) (2)对比(1)与(2)式得:sinB=(√3)/2,r=√3.所以B=60°，所以2B=A+C，故A,B,C成等差数列. 收起
