高中数学竞赛题

在ΔABC中,AB>AC,其内切圆切边BC于E,连AE交内切圆另一点D,在线AE上取异于E的另一点F,使得CE=CF,连CF并延长交BD于G. 求证 CF=FG.简证 过D作内切圆切线,与AB交于M,与AC交于N,与BC的延长线交于K.因为CE=CF,所以∠CFE=∠DEK=∠EDK.故 直线CFG∥直线KNM.从而得:BD/DG=BK/KC (1)根据牛顿定理:圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合.所以直线DE,BN,CM交于一点.因为AE,BN,CM交于一点,由塞瓦定理得:(BE/EC)*(CN/NA)*(AM/MB)=1 (2)对于直线KNM与三角形ABC,满足梅涅劳斯定理,所以有(BK/KC)*(CN/NA)*(AM/MB)=1 (3)由(2),(3)得:BE*KC=CE*BK (4)因为CE=CF,所以有BE*KC=CF*BK (5)对于直线DFE与三角形BCG,满足梅涅劳斯定理,所以有(BD/DG)*(GF/FC)*(CE/BE)=1 (6)因为CE=CF,所以有1=(BD/DG)*(GF/BE) (7)将(1)代入(7)得:1=(BK/KC)*(GF/BE) <===>BK*GF=BE*KC (8)对比(5)与(8)式即得:CF=FG. 收起