一道高中数学竞赛题

已知a,b,c是满足:a^2=b^2+c^2的正数.求使下式 7(a^3+b^3+c^3)>=k*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2] 成立的最大k值. 7(a^3+b^3+c^3)>=(2√2+1)*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2]证明 令a=√2*b,b=c,可得k=2√2+1.因为a,b,c是正数,且有a^2=b^2+c^2.所以以a,b,c为边可构成一直角三角形,a边是斜边.又 a=√(b^2+c^2)>=(b+c)/√2记T=7(a^3+b^3+c^3)-(2√2+1)*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2]则有T=(6-2√2)a(b^2+c^2)+(6-2√2)(b^3+c^3)-(4√2+2)bc(b+c)≥(3√2-2)(b+c)(b^2+c^2)+(6-2√2)(b^3+c^3)-(4√2+2)bc(b+c)=(4+√2)(b^3+c^3)-(4+√2)bc(b+c)=(4+√2)(b+c)(b-c)^2≥0 收起