设H是△ABC的垂心， D、E、F分别为AH、BH、CH中点， K、M、N分别为BC、CA、AB中点，O为△ABC外接圆的圆心， 求证：AO=DK。此问题有许多证法，下面仅提传一种三角证法.解 延长AH交BC于X.因为AH=2R*cosA,HX=2R*cosB*cosC,BX=c*cosB=2R*sinC*cosB，所以DX=︱R(cosA+2cosB*cosC)︱,KX=︱R*(sinA-2s 展开
设H是△ABC的垂心， D、E、F分别为AH、BH、CH中点， K、M、N分别为BC、CA、AB中点，O为△ABC外接圆的圆心， 求证：AO=DK。此问题有许多证法，下面仅提传一种三角证法.解 延长AH交BC于X.因为AH=2R*cosA,HX=2R*cosB*cosC,BX=c*cosB=2R*sinC*cosB，所以DX=︱R(cosA+2cosB*cosC)︱,KX=︱R*(sinA-2sinC*cosB︱在Rt△DXK中DK^2=DX^2+KX^2=R^2[(cosA+2cosB*cosC)^2+(sinA-2sinC*cosB)^2]=R^2*[1+4cosB*(cosA*cosC-sinA*sinC)+4(cosB)^2]=R^2*[1+4cosB*cos(A+C)+4(cosB)^2]=R^2.所以AO=DK。DK是是△ABC的九点圆直径，它等于△ABC的外接圆半径， 收起
