几何-11

在△ABC中，D是AB边上的中点，点E，F分别在CA，BC上。求证：S(△ADE)+S(△BDF)≥S(△DEF).证明 设CE/CA=x，CF/CB=y，显然0<x≤1, 0<y≤1. 则有S(CEF)=xy*S(ABC)/2;S(ADE)=[(1-x)*AD*AC*sinA]/2=(1-x)*S(ABC)/4;S(BDF)=[(1-y)*BD*BC*sinB]/2=(1-y)*S(ABC)/4. 故所证不等式:S(ADE)+S(BDF)≥S(DEF) 等价于 2[S(ADE)+S(BDF)]≥S(ABC)-S(CEF). <==>1-x-y+xy≥0 <==>(1-x)*(1-y) ≥0, 显然成立。所以S(ADE)+S(BDF)≥S(DEF) 成立. 当E点与A重合[或者F点与B重合] 时等号成立。 收起