在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=（AB+CD）/2，求证AD∥BC。证明 假设AD不平行BC。连结BD.并设P是BD的中点，再连结PM,PN。据三角形中位线定理得: PM=AD/2, PM∥AD;PN=BC/2, PN∥BC.从而 PM+PN=(AD+BC)/2. (1)这时BD的中点P不在MN上，若不然，则由MN∥AD,MN∥BC 展开
在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=（AB+CD）/2，求证AD∥BC。证明 假设AD不平行BC。连结BD.并设P是BD的中点，再连结PM,PN。据三角形中位线定理得: PM=AD/2, PM∥AD;PN=BC/2, PN∥BC.从而 PM+PN=(AD+BC)/2. (1)这时BD的中点P不在MN上，若不然，则由MN∥AD,MN∥BC，得AD∥BC，与假设矛盾。于是M,P,N三点不共线。从而 PM+PN>MN (2)显然(1),(2)式与条件MN=(AB+CD)/2相矛盾，因此假设不成立，从而AD∥BC。下面的证法与两楼略有不同.证明 连AC，取AC中点K,连KM,KN。则根据三角形中位线定理得:KM=BC/2, KM∥BC;KN=BC/2, KN∥AD;即 KM+KN=(BC+AD)/2.又因为 MN=(AB+CD)/2,所以M，K，N三点共线，因此AD∥BC。 收起
