代数题

令9m²+5m+26=k(k+1) --->△1=36k²+36k-911=p²--->△2=12²(920+p²) 令 920+p²=q²--->(q+p)(q-p)=920=2³*5*23 ∵q+p与q-p的奇偶性相同--->q+p与q-p必同为偶数 --->920=2*10*46 = 20*46或10*92或(-20)*(-46)或(-10)*(-92) --->p=±13，±41--->p²=169,1681 --->△1=36k²+36k-911=p²--->k(k+1)=30,72 --->9m²+5m+26=k(k+1)------>m=-13,6,2,-1 收起

解 设9m^2+5m+26=k(k+1) ，[k为整数]即 9m^2+5m+26-k(k+1)=0 ， (1)把上式看成是m关于的二次方程，于是求m的整数值，就归结为上述二次方程有整数根，所以据判别式:△=25-36[26-k(k+1)]=36k^2+36k-911， 为完全平方数，再设36k^2+36k-911=p^2 ， [p为整数]即 36k^2+36k-911-p^2=0 (2)这个关于k的二次方程有整数根，必须△'=36^2+4*36(911+p^2)=12^2*(920+p^2)为完全平方数，从而(920+p^2) 是完全平方数。设q^2=920+p^2 [q为整数] ，则(q+p)*(q-p)=920=2*2*2*5*23 (3)q+p与q-p中必有一个偶数，又因q>p，且q+p与q-p之差为偶数，所以q+p与q-p都是偶数。再由(3)式可得以下情形:q-p=2，q+p=460;(4)q-p=4，q+p=230;(5)q-p=10，q+p=92;(6)q-p=20，q+p=46. (7)(4) ==>q=231，p=229，(5) ==>q=117，p=113，(6) ==>q=51，p=41，(7) ==>q=33，p=13。把p值代入(2)式求得k，再把k值代入(1)式求得:k(k+1)=1482 ==>k=38，9m^2+5m-1456=0 ==>m=-13，k(k+1)=380 ==>k=19，9m^2+5m-354=0 ==>m=6，k(k+1)=72 ==>k=8，9m^2+5m-46=0 ==>m=2，k(k+1)=30 ==>k=5，9m^2+5m-4=0 ==>m=-1， 收起