解 设对某个整数k，有9m^2+5m+26=k(k+1) ，即 9m^2+5m+26-k(k+1)=0 ， (1)把上式看成是m关于的二次方程，于是求m的整数值，就归结为上述二次方程有整数根，所以据判别式:△1=25-36[26-k(k+1)]=36k^2+36k-911， 为完全平方数，再设36k^2+36k-911=p^2 ， [p为整数]即 36k^2+36k-911-p^2=0 展开
解 设对某个整数k，有9m^2+5m+26=k(k+1) ，即 9m^2+5m+26-k(k+1)=0 ， (1)把上式看成是m关于的二次方程，于是求m的整数值，就归结为上述二次方程有整数根，所以据判别式:△1=25-36[26-k(k+1)]=36k^2+36k-911， 为完全平方数，再设36k^2+36k-911=p^2 ， [p为整数]即 36k^2+36k-911-p^2=0 (2)这个关于k的二次方程有整数根，必须△2=36^2+4*36(911+p^2)=12^2*(920+p^2)为完全平方数，从而(920+p^2) 是完全平方数。又设q^2=920+p^2 [q为整数] ，则(q+p)*(q-p)=920 =2*2*2*5*23 (3)由此可见，q+p与q-p中必有一个偶数，又因q>p，且q+p与q-p之差为偶数，所以q+p与q-p都是偶数。再由(3)式可得以下情形:q-p=2，q+p=460;(4)q-p=4，q+p=230;(5)q-p=10，q+p=92;(6)q-p=20，q+p=46. (7)(4)<==>q=231，p=229，(5)<==>q=117，p=113，(6)<==>q=51，p=41，(7)<==>q=33，p=13。把p值代入(2)式求得k，再把k值代入(1)式求得:k(k+1)=1482<==>k=38，9m^2+5m-1456=0 <==>m=-13，k(k+1)=380<==>k=19，9m^2+5m-354=0 <==>m=6，k(k+1)=72<==>k=8，9m^2+5m-46=0 <==>m=2，k(k+1)=30<==>k=5，9m^2+5m-4=0 <==>m=-1， 收起
