代数问题

1. 设b(3)=b(4)=1, b(k+2)=b(k+1)-2b(k)易得:当n>2,b(n)为奇数.2.设当k>2a(k)=2b(k+1)-b(k)==>a(3)=1,且易得:当n>2,a(n)为奇数.3.易得:当k>2a(k+1)=[a(k)-7*b(k)]/2 b(k+1)=[a(k)+b(k)]/2 4.下面用归纳法证明命题如下: 2^k=a(k)^2+7*b(k)^2,k≥3. ((1))k=3,2^3=1^2+7*1^2=a(3)^2+7*b(3)^2命题成立.((2))设2^k=a(k)^2+7*b(k)^2成立.a(k+1)^2+7*b(k+1)^2=={[a(k)-7*b(k)]/2}^2+7*{[a(k)+b(k)]/2}^2==2[ a(k)^2+7*b(k)^2]=2^(k+1)所以当k≥3,2^k=a(k)^2+7*b(k)^2,其中a(k),b(k)是奇数. 收起

代数问题 证明在n>=3时，2^n可以表成7x^2+y^2, 其中x,y均为奇数。下面用数学归纳法证明 证明 当 n=3时，2^3=8=7*1^2+1^2，结论成立。设 2^n=7x^2+y^2,x,y为奇数.由于2=7*(1/2)^2+(1/2)^2.所以得 2^(n+1)=(7x^2+y^2)*[7*(1/2)^2+(1/2)^2], (1)上式可分解成下列两式:2^(n+1)=7(x/2+y/2)^2+(7x/2-y/2)^2 (2-1)2^(n+1)=7(x/2-y/2)^2+(7x/2+y/2)^2 (2-2)由于x,y都是奇数，所以(x+y)/2，，(7x-y)/2都是整数.如果 (x+y)/2是奇数，则(7x-y)/2=4x-(x+y)/2 也是奇数;如果 (x+y)/2是偶数，那么(x-y)/2=(x+y)/2-y是奇数，(7x+y)/2=3x+(x+y)/2也是奇数。所以(2-1),(2-2)式就是我们所需要的表达式。证毕。 收起