高中几何难题

证明 根据四边形定理：任意一个四边形各边的平方和等于对角线的平方和加上对角线中点连线的平方的四倍。 在四边形ABPC中[可能是凹四边形] 四边长为:AB,BP,PC,CA;两对角线为AP,BC;对角线中点连线为KD. 所以得: 4KD^2=AB^2+CA^2+PB^2+PC^2-PA^2-BC^2 (1) 同理可得: 4ME^2=BC^2+AB^2+PC^2+PA^2-PB^2-CA^2 (2) 4NF^2=CA^2+BC^2+PA^2+PB^2-PC^2-AB^2 (3) (1)+(2)+(3)得: 4(KD^2+ME^2+NF^2)=BC^2+CA^2+AB^2+PA^2+PB^2+PC^2 (4) 故所证不等式等价于 3(PA^2+PB^2+PC^2)>=BC^2+CA^2+AB^2 (5) 再由三角形重心定理:到三角形三顶点的距离的平方和为最小点即是三角形重心. 设G为三角形ABC重心.上述定理表述为: PA^2+PB^2+PC^2>=GA^2+GB^2+GC^2 (6) 而由三角形恒等式: 3(GA^2+GB^2+GC^2)=BC^2+CA^2+AB^2 (7) 故不等式(5)成立，从而所证不等式成立。 收起