若四面体的六条棱长分别为a,b,c,d,e,f，体积为V。 求证:a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6≥432V^2. 证明 设共顶点的三条棱长为k,m,n的平行六面体，各个面上的对角线构成一个四面体ABCD。该四面体的体积为V, 六条棱长分别为a,b,c,d,e,f，则有e^2+f^2=2(k^2+n^2);(1)b^2+c^2=2(m^2+n^2);(2)a^2+d^ 展开
若四面体的六条棱长分别为a,b,c,d,e,f，体积为V。 求证:a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6≥432V^2. 证明 设共顶点的三条棱长为k,m,n的平行六面体，各个面上的对角线构成一个四面体ABCD。该四面体的体积为V, 六条棱长分别为a,b,c,d,e,f，则有e^2+f^2=2(k^2+n^2);(1)b^2+c^2=2(m^2+n^2);(2)a^2+d^2=2(k^2+m^2). (3)我们易得: V(平行六面体)=3V，V(平行六面体)≤kmn.所以3V=≤kmn=√(k^2*m*^2*n^2)≤[(k^2+m^2+n^2)/3]^(3/2)而 k^2+m^2+n^2=(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)/4 (4)故得:3V≤[(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)/12]^(3/2) (5)由幂平均不等式得:[(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)/6]^(1/2)≤[(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6)/6]^(1/6)据此可得:3V≤{(1/√2)*[(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)/6]^(1/2)}^3 ≤(1/2√2)*{ [(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6)/6]^(1/6)}^3=[(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6)/48]^(1/2)所以得: a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6≥432V^2. 收起
