设P是五边形ABCDE外接圆上任一点，求证:P至五边形ABCDE各对角线的距离之积等于P至各边的距离之积。证明 设P点至五边形边AB，BC，CD，DE，EA的距离分别为h1，h2，h3，h4，h5;P点至五边形各对角线AC，AD，BD，BE，CE的距离分别为m1，m2，m3，m4，m5。令R为五边形ABCDE外接圆的半径。根据简单几何定理:三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积。在ΔPA 展开
设P是五边形ABCDE外接圆上任一点，求证:P至五边形ABCDE各对角线的距离之积等于P至各边的距离之积。证明 设P点至五边形边AB，BC，CD，DE，EA的距离分别为h1，h2，h3，h4，h5;P点至五边形各对角线AC，AD，BD，BE，CE的距离分别为m1，m2，m3，m4，m5。令R为五边形ABCDE外接圆的半径。根据简单几何定理:三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积。在ΔPAB中，得: PA*PB=2R*h1. (1-1)同理可得:PB*PC=2R*h2. (1-2)PC*PD=2R*h3. (1-3)PD*PE=2R*h4. (1-4)PE*PA=2R*h5. (1-5)在ΔPAC中，得:PA*PC=2R*m1. (2-1)同理可得:PA*PD=2R*m2. (2-2)PB*PD=2R*m3. (2-3)PB*PE=2R*m4. (2-4)PC*PE=2R*m5. (2-5)(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得:h1*h2*h3*h4*h5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (3)(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)得:m1*m2*m3*m4*m5=(PA*PB*PC*PD*PE)^2/(2R)^5 (4)所以有 h1*h2*h3*h4*h5=m1*m2*m3*m4*m5. 证毕。备注: 实际上我们有更一般结论:定理 圆内接n边形(n≥4) 外接圆上任一点至各条对角线的距离之积的2/(n-3) 次方等于该点至各边的距离之积。定理证明与上述证明方法相同，关键要注意量纲，n边形有n条边和n(n-3)/2条对角线。 收起
