在ΔABC中, 内心与垂心的距离等于内心与外心的距离的充要条件是:ΔABC三个内角成等差数列。证明设s,R,r分别表示ΔABC半周长, 外接圆与内切圆半径. 内心,外心与垂心分别为I,O,H则有IH^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2IO^2=R^2-2Rr.ΔABC三个内角成等差数列, 即有一角是60度.因为 H^2=IO^2 <===>s^2=3(R+r)^2<=== 展开
在ΔABC中, 内心与垂心的距离等于内心与外心的距离的充要条件是:ΔABC三个内角成等差数列。证明设s,R,r分别表示ΔABC半周长, 外接圆与内切圆半径. 内心,外心与垂心分别为I,O,H则有IH^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2IO^2=R^2-2Rr.ΔABC三个内角成等差数列, 即有一角是60度.因为 H^2=IO^2 <===>s^2=3(R+r)^2<===>s=√3*(R+r) (1)又s=2R*sinB+r*cot(B/2) (2)对比(1),(2) 式即得证 收起
