方程问题

一般地,4次方程求解很困难,除非可方便分解因式,因此从这方面考虑先看常数项:(3a^2*b^2+4a^2b-3ab^2-4a^2+3b^2-4ab+4a+4b-4)系数非3即4,试探把3和4分别集中在一起:3b^2(a^2-a+1)+4(a^2b-a^2-ab+a+b-1)=3b^2(a^2-a+1)+4b(a^2-a+1)-4(a^2-a+1)=(a^2-a+1)(3b^2+4b-4)这样猜想原式可能可分解成两个二次式的乘积由于三次项系数为-(2a+4b),因此分解后的一次项系数应为-2a,-4b,两次项和一次项系数中没有出现a^3,b^3,因此猜想应该分解成如下形式:(x^2-2ax+a^2-a+1)(x^2-4bx+3b^2+4b-4)经展开与原式一致,故原方程即为:(x^2-2ax+a^2-a+1)(x^2-4bx+3b^2+4b-4)=0这样变成2个2次方程,讨论起来就比较容易了 收起

设一元四次方程: x^4-(2a+4b)x^3+(a^2+8ab+3b^2+4b-a-3)x^2-(4a^2*b+6ab^2+4ab-8a+4b)x+(3a^2*b^2+4a^2b-3ab^2-4a^2+3b^2-4ab+4a+4b-4)=0有且只有两个实根，求a与b的范围. 借用楼上阿炳大师分解结论f(x)=(x^2-2ax+a^2-a+1)*(x^2-4bx+3b^2+4b-4)=(x^2-2ax+a^2-a+1)*(x-3b+2)*(x-b-2)因为f(x)有且只有两个实根，故x^2-2ax+a^2-a+1=0无实根，由此4a^2-4(a^2-a+1)<0 <==>a<1。所以a<1,b可取任意值。 收起