数学不等式

设x,y,z为正实数，且x+y+z=1.求证: 1+27xyz(x^2+y^2+z^2)-4(yz+zx+xy)≥0 (*)证明 将(*)式齐次化处理得: (x+y+z)^5+27xyz(x^2+y^2+z^2)≥4(yz+zx+xy)*(x+y+z)^3 (1) (1)展开化简为 Σx^5+Σx^4*(y+z)-2Σx^3*(y^2+z^2)+19xyzΣx^2-18xyzΣyz≥0 (2) 因为(2)式是全对称式,不失一般性,设x=min(x,y,z),(2)式分解为: x(x^2+2xy+2xz+22yz)*(x-y)*(x-z)+[(y+z)^3+x(y^2+21yz+z^2)-2x^2*(y+z)]*(y-z)^2≥0 上式显然成立.证毕。 收起