不等式问题

问题 在非纯角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2. 求证：s>=2R+r. 该问题去年曾有人提问，证法与楼上鱼儿的差不多。下给出另一证法，供参考。证明 在非纯角ΔABC中，有cosA*cosB*cosC≥0 (1)由余弦定理定理知(1)式等价于(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)≥0<==>Σa^2*(2Σb^2*c^2 -Σa^4)-8(abc)^2≥0据三角形恒等式:abc=4Rrs，Σa^2=2(s^2-4Rr-r^2)，2Σb^2*c^2 -Σa^4=16(sr)^2.代入整理得:32(sr)^2*(s^2-4Rr+r^2-4R^2)≥0故 s^2-4Rr+r^2-4R^2≥0<==>s^2≥(2R+r)^2因此 s>=2R+r.证毕. 收起