设x,y,z为正实数，x+y+z=1.求证: 2(x^4+y^4+z^4)+xyz>=x^3+y^3+z^3 (1)证明 将(1)式齐次化处理得:2(x^4+y^4+z^4)+xyz(x+y+z)>=(x^3+y^3+z^3)*(x+y+z) (2)(2)展开化简为Σx^4-Σx^3*(y+z)+xyzΣx≥0 (3)因为(3)式是全对称式,不失一般性,设x=min(x,y 展开
设x,y,z为正实数，x+y+z=1.求证: 2(x^4+y^4+z^4)+xyz>=x^3+y^3+z^3 (1)证明 将(1)式齐次化处理得:2(x^4+y^4+z^4)+xyz(x+y+z)>=(x^3+y^3+z^3)*(x+y+z) (2)(2)展开化简为Σx^4-Σx^3*(y+z)+xyzΣx≥0 (3)因为(3)式是全对称式,不失一般性,设x=min(x,y,z),(3)式分解为:x^2*(x-y)*(x-z)+[y^2+z^2+yz-x(y+z)]*(y-z)^2≥0上式显然成立.证毕。 收起
