f(x)=2x-a/x,定义域(0，1], a属于R .1、若f(x)为定义域上是减函数，求a取值范围;2、若a<0,求f(x)在定义域上最小值.解 (1)设x1,x2∈(0,1],且x1<x2, 若f(x)在x∈(0,1]是减函数,则 f(x1)-f(x2)=2x1-a/x1-2x2+a/x2 =2(x1-x2)+a(x1-x2)/(x1*x2) =(x1-x2)[2+a/(x1*x 展开
f(x)=2x-a/x,定义域(0，1], a属于R .1、若f(x)为定义域上是减函数，求a取值范围;2、若a<0,求f(x)在定义域上最小值.解 (1)设x1,x2∈(0,1],且x1<x2, 若f(x)在x∈(0,1]是减函数,则 f(x1)-f(x2)=2x1-a/x1-2x2+a/x2 =2(x1-x2)+a(x1-x2)/(x1*x2) =(x1-x2)[2+a/(x1*x2)]>0, 因为x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0的充分必要条件是: 2+a/(x1*x2)<0, 即a<-2x1*x2, 记m=inf{-2x1*x2},(inf表示下确界) 由x1,x2的任意性知,只要a<=m即可. 而由x1,x2∈(0,1]且x1<x2可知 x1*x2<1, 所以 m=-2, 从而 a<=-2. 因此,a的取值范围是:a<=-2. (2)(i)由(1)知,当a<=-2时,f(x)在(0,1]是减函数,所以 fmin=f(1)=2-a.(ii)当-2<a<0时,由平均值不等式,得 f(x)=2x-a/x=2x+(-a)/x>=2√(-2a), 上式的取等条件为:x=√(-a/2), 所以,fmin=2√(-2a). 收起
