高中数学竞赛题[3]

证明 设BA的延长线与FG交于H,∠BAC的角平分线交AC于J. 因为AJ平分∠BAC,FG∥AJ, 所以∠HGA=∠GAJ=∠JAB=∠AHG. 故AH=AG. 直线HGF截△AEC,由梅内劳斯定理,有 (AH/HE)*(EF/FC)*(CG/GA)=1 即得: CG/HE=FC/EF (1) 又直线BFD截△AEC,由梅内劳斯定理,有 (AB/BE)*(EF/FC)*(CD/DA)=1 由BE=CD得: AB/DA=FC/EF (2) 由(1),(2)得: AB/DA=CG/HE <===>(AE+EB)/(AG+GD)=(CD+DG)/(HA+AE) <==>AE^2+AE(EB+HA)=GD^2+GD(AG+CD) 结合AG+CD=EB+HA可得: 0=AE^2-GD^2=AE(EB+HA)-GD*EB+HA)=(AE-GD)*(AE+GD+EB+HA) 所以 AE=GE. 故AB=AE+EB=GD+DC=CG. 收起