设x，y，z为正实数，且满足:yz+zx+xy=1，求证:27(y+z)(z+x)(x+y)/4≥[√(y+z)+√(z+x)+√(x+y)]^2≥6√3。证明 根据均值不等式得[√(y+z)+√(z+x)+√(x+y)]^2≤6(x+y+z) ，所以欲证不等式链左边，只需证9(y+z)(z+x)(x+y)≥8(x+y+z) (1)(1)<==>9(y+z)(z+x)(x+y) 展开
设x，y，z为正实数，且满足:yz+zx+xy=1，求证:27(y+z)(z+x)(x+y)/4≥[√(y+z)+√(z+x)+√(x+y)]^2≥6√3。证明 根据均值不等式得[√(y+z)+√(z+x)+√(x+y)]^2≤6(x+y+z) ，所以欲证不等式链左边，只需证9(y+z)(z+x)(x+y)≥8(x+y+z) (1)(1)<==>9(y+z)(z+x)(x+y)≥8(x+y+z)*( yz+zx+xy)<==>x*(y-z)^2+y*(z-x)^2+z*(x-y)^2≥0，(1) 显然成立。故不等式链左边成立据三元均值不等式 [√(y+z)+√(z+x)+√(x+y)]^2=2(x+y+z)+2√[(z+x)(x+y)]+2√[(x+y)(y+z)]+2√[(y+z)(z+x)]≥2(x+y+z)+6[(y+z)(z+x)(x+y)]^(1/3)≥2(x+y+z)+6[8(x+y+z)/9]^(1/3)注意由yz+zx+xy=1可导出:x+y+z≥√3，所以2(x+y+z)+6[8(x+y+z)/9]^(1/3)≥2√3+6*[(8√3)/9]^(1/3)=2√3+6*(2/√3)=6√3。故不等式链右边成立。证毕。 收起
