初中数学

证明 由于x^3-xy^3=xy(x^2-y^2), zy^3-yz^3=yz(y^2-z^2), xz^3-zx^3=zx(z^2-x^2) ， 当x,y,z都是奇数时，x^2-y^2，y^2-z^2，z^2-x^2三个数均为偶数。 当x为偶数,y,z奇数时，三个数均为偶数;当x,y为偶数,,z奇数时，三个数均为偶数;当x,y,z均为偶数，三个数均为偶数. 于是，对任何整数x,y,z， yx^3-xy^3, zy^3-yz^3, xz^3-zx^3三个数均为偶数. 由2与5互质，只要证明三个数中至少有一个是5的倍数即可。 当x,y,z中有一个是5的倍数，则结论显然成立。 当x,y,z中都不是5的倍数，则它们必为5m±1，5m±2形式的数[m为整数]，则 (5m+1)^2-(5m-1)^2=20m， (5m+2)^2-(5m-2)^2=40m, 从而x^2-y^2，y^2-z^2，z^2-x^2中至少有一个是5的倍数，结论成立。 收起