已知函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a>0,且a≠1,). (1)求f(x)的值域 (2)判断f(x)的奇偶性 (3)讨论f(x)的单调性解 (1)求f(x)的值域.因为0<a^x<+∞,所以 f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1, f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1 展开
已知函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a>0,且a≠1,). (1)求f(x)的值域 (2)判断f(x)的奇偶性 (3)讨论f(x)的单调性解 (1)求f(x)的值域.因为0<a^x<+∞,所以 f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1, f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1,因此,f(x)的值域为(-1,1).(2)判断f(x)的奇偶性.因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)=-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),所以,f(x)是奇函数.(3)讨论f(x)的单调性.(i)当a>1时设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]>0,所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减.由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.因此,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.(ii)当0<a<1时设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0,所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增.由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减. 收起
