凸n边形问题

设圆心为O。设角A1OA2,A2OA3,...,AnOA1依次为p1,p2,...,pn. 那么 ak=2*Rsin(pk/2),并且p1+p2+...+pn=2π. 因此1/a1+1/a2+…+1/an=1/(2R)*[1/sin(p1/2)+sin(p2/2)+...+sin(pn/2)]注意到 1/sinx是(0，π)上的凹函数，所以由琴生(Jensen)不等式，1/a1+1/a2+…+1/an=1/(2R)*[1/sin(p1/2)+sin(p2/2)+...+sin(pn/2)]>=1/(2R)*n*1/sin{[(p1/2+p2/2+...+pn/2]/n}=1/(2R)*n*1/sin(π/n).证毕。 收起