解:1.原式=∫<0,1>[∫<0,1>y/(1+x^2+y^2)^(3/2)dy]dx=-∫<0,1>[(1+x^2+y^2)^(-1/2)|<0,1>]dx=-∫<0,1>[(2+x^2)^(-1/2)-(1+x^2)^(-1/2)]dx=-[ln(x+√(2+x^2)-ln(x+√(1+x^2)]<0,1>=ln[(√6 展开
解:1.原式=∫<0,1>[∫<0,1>y/(1+x^2+y^2)^(3/2)dy]dx=-∫<0,1>[(1+x^2+y^2)^(-1/2)|<0,1>]dx=-∫<0,1>[(2+x^2)^(-1/2)-(1+x^2)^(-1/2)]dx=-[ln(x+√(2+x^2)-ln(x+√(1+x^2)]<0,1>=ln[(√6+2√3-√2-2)/2]2.化为极坐标,设x=rcosθ,y=rsinθ,0≤r≤R,0≤θ≤2π则原式=∫∫[(rcosθ)^2/a^2+(rsinθ)^2/b^2]rdrdθ=∫<0,2π>[∫<0,R>[(cosθ)^2/a^2+(sinθ)^2/b^2]r^3dr]dθ=∫<0,2π>[[(cosθ)^2/a^2+(sinθ)^2/b^2]r^4/4|<0,R>]dθ=(R^4/4)∫<0,2π>[(cosθ)^2/a^2+(sinθ)^2/b^2]dθ=(R^4/4)[(θ/2+(1/4)sin2θ)/a^2+(θ/2-(1/4)sin2θ)/b^2]|<0,2π>=πR^2(a^2+b^2)/(4a^2b^2)3.原式=∫<0,1>[∫<0,y>e^(-y^2)dx]dy=∫<0,1>[xe^(-y^2)|<0,y>]dy=∫<0,1>[ye^(-y^2)]dy=(-1/2)e^(-y^2)|<0,1>=(e-1)/(2e)4.原式=∫<0,1>[∫<-y,-y/2>(x+y)dx]dy+∫<0,1>[∫<y/2,y>(x+y)dx]dy=∫<0,1>[(x^2/2+xy)|<-y,-y/2>]dy+∫<0,1>[(x^2/2+xy)|<y/2,y>]dy=∫<0,1>[y^2]dy=(1/3)y^3|<0,1>=1/3 收起
