三角形ABC中，AD是BC边上的中线，角C=2角B，AC=1/2BC。求证三角形ADC是等边三角形。下面仅提供一种三角证法。 证明 由正弦定理得:AC/sinB=BC/sinA=BC/sin(B+C)因为AC=BC/2, ∠C=2∠B，所以得:2sinB=sin(3B)而sin(3B)=sinB*cos(2B)+sin(2B)*cosB=sinB*[1-2(sinB)^2]+2sinB*([1- 展开
三角形ABC中，AD是BC边上的中线，角C=2角B，AC=1/2BC。求证三角形ADC是等边三角形。下面仅提供一种三角证法。 证明 由正弦定理得:AC/sinB=BC/sinA=BC/sin(B+C)因为AC=BC/2, ∠C=2∠B，所以得:2sinB=sin(3B)而sin(3B)=sinB*cos(2B)+sin(2B)*cosB=sinB*[1-2(sinB)^2]+2sinB*([1-(sinB)^2]=3sinB-4(sinB)^3故 2sinB=3sinB-4(sinB)^3<==>4(sinB)^3-sinB=0 <==>sinB*[4(sinB)^2-1]=0因为sinB≠0,所以sinB=1/2 即B=30°,因而C=60°,A=90°。即三角形ABC为直角三角形。从而三角形ADC是等边三角形。 几何证法:过A作BA⊥AC'，交BC或BC延长线为C'，取BC'的中点D'。连AD'。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD'=BD'。又2∠B=∠C，所以∠AD'C=2∠B=∠C，故ΔAD'C为等腰三角形，即AD'=AC，因为2AD'=BC'，2AC=BC，所以BC'=BC，从而C'与C重合，D'与D重合，因此∠BAC=90°，据此可求得:∠B=30°,∠C=60°。根据顶角为60°的等腰三角形是等边三角形,所以三角形ADC是等边三角形。 收起
