a^3+b^3+c^3+3abc>=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)的加强

已知a,b,c>0.求证 a^3+b^3+c^3+3abc>=bc√(2b^2+2c^2)+ca√(2c^2+2a^2)+ab√(2a^2+2b^2) Σa^3+3abc>=Σbc√(2b^2+2c^2) 两边平方 Σa^6+2Σ(bc)^3+6abcΣa^3+9(abc)^2>=2Σ(b^2+c^2)a^4+4abcΣa√(c^2+a^2)*(a^2+b^2) 因为 2√(c^2+a^2)*(a^2+b^2)=<2a^2+b^2+c^2 所以只需证 Σa^6+2Σ(bc)^3+6abcΣa^3+9(abc)^2>=2Σ(b^2+c^2)a^4+2abcΣa(2a^2+b^2+c^2) <==>Σa^6+2Σ(bc)^3+2abcΣa^3+9(abc)^2-2Σ(b^2+c^2)a^4-2abcΣ(b+c)a^2 设a=min(a,b,c),上式分解为 a^2*(a+b)*(a+c))*(a-b)*(a-c) +{-a^4+2(b+c)a^3-2a^2*(b^2+c^2+3bc)+2abc(b+c)+b^4+c^4+2bc(b^2+c^2)+(bc)^2]*(b-c)^2>=0 显然成立. 收起