数学问题7

设△ABC的三内角A,B,C成等差，对应边上的高ha,hb,hc也成等差，试判定△ABC的形状。 解 因为△ABC的三内角A,B,C成等差,则B=60°.由余弦定理得: b^2=a^2+c^2-ac (1)高线ha,hb,hc也成等差，则2/b=1/a+1/c <==>2ac=b(a+c) (2)消去(1),(2)中的b,得:(2ac)^2=(a+c)^2*(a^2+c^2-ac)<==>a^4+a^3*C-4a^2*c^2+a*c^3+c^4=0<==>(a^2+3ac+c^2)*(a-c)^2=0所以得: a=c.据此可得到a=b,c=b.所以△ABC的为等边三角形。 收起