数学问题10

设△ABC的三边长a,b,c成等差，对应边上的中线ma,mb,mc成等比，试判定△ABC的形状。 解 由题设条件及三角形中线公式得: 2b=a+c (1) (2c^2+2a^2-b^2)^2=(2b^2+2c^2-a^2)*(2a^2+2b^2-c^2) (2) (2)<==>6a^4+3a^2*c^2+6c^4-6b^2*(a^2+c^2)-3b^4=0 (3) 将(1)式代入(3)式得: 69a^4+69c^4-60ac*(a^2+c^2)-18a^2*c^2=0 <==>(69a^2+87ac+69c^2)*(a-c)^2 =0 所以a=c,据此可求得:a=b=c. 故△ABC的为等边三角形。 收起