设ΔABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c，外心为O，类似重心为K，∠AKO是锐角,直角,钝角充要条件是什么? (1)∠AKO为锐角的充要条件是:b^2+c^2>2a^2;(2)∠AKO为直角的充要条件是: b^2+c^2=2a^2;(3)∠AKO为钝角的充要条件是: b^2+c^2<2a^2。证明 连AK并延长分别交边BC及圆O于D与A’。BC边上的中线为ma，易求得:AK 展开
设ΔABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c，外心为O，类似重心为K，∠AKO是锐角,直角,钝角充要条件是什么? (1)∠AKO为锐角的充要条件是:b^2+c^2>2a^2;(2)∠AKO为直角的充要条件是: b^2+c^2=2a^2;(3)∠AKO为钝角的充要条件是: b^2+c^2<2a^2。证明 连AK并延长分别交边BC及圆O于D与A’。BC边上的中线为ma，易求得:AK=2*b*c*ma/(a^2+b^2+c^2) ，AD=2*b*c*ma/(b^2+c^2),KD=2*a^2*b*c*ma/[(a^2+b^2+c^2)* (b^2+c^2)],BD=a*c^2(b^2+c^2)/,CD=a*b^2/(b^2+c^2).所以据 BD*CD=AD*A’D，得:A’D=a^2*b*c/[2*ma*(b^2+c^2)]故A’K=A’D+DK=3*a^2*b*c/[2*ma*(a^2+b^2+c^2)] 。(1)对于等腰ΔAOA'，我们有∠AKO为锐角的充要条件是:AK>A’K，即2bcma/(a^2+b^2+c^2)>3a^2*bc/[2ma*(a^2+b^2+c^2)] ，4*(ma)^2>3*a^2 <==>b^2+c^2>2a^2 同理可证(2),(3) 成立。 收起
