四边形ABCD有内切圆，该四边形面积为√(AB*BC*CD*DA) ， 求证: 四边形ABCD必有外接圆. 证明 连AC,设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，S表示四边形ABCD的面积。由余弦定理得:AC^2=a^2+b^2-2ab*cosB=c^2+d^2-2cd*cosD (1)因为四边形ABCD有内切圆，则a+c=b+d，所以有a^2+b^2-2ab=c^2+d^2-2cd 展开
四边形ABCD有内切圆，该四边形面积为√(AB*BC*CD*DA) ， 求证: 四边形ABCD必有外接圆. 证明 连AC,设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，S表示四边形ABCD的面积。由余弦定理得:AC^2=a^2+b^2-2ab*cosB=c^2+d^2-2cd*cosD (1)因为四边形ABCD有内切圆，则a+c=b+d，所以有a^2+b^2-2ab=c^2+d^2-2cd (2)[(1)-(2)]/2得:ab-ab*cosB=cd-cd*cosD,即ab*cosB-cd*cosD=ab-cd (3)由已知条件及根据三角形面积得:2S=2√(abcd)=ab*sinB+cd*sinD,即ab*sinB+cd*sinD=2√(abcd) (4)(3)^2+(4)^2得:(ab)^2+(cd)^2-2abcd*cos(B+D)=(ab-cd)^2+4abcd=(ab)^2+(cd)^2+2abcd.所以得:cos(B+D)=-1，于是∠B+∠D=180°.故四边形ABCD必有外接圆.证毕. 收起
