数学问题9

设△ABC的三边长a,b,c与对应边上的中线ma,mb,mc都成等比，试判定△ABC的形状。 解 由题设条件及三角形中线公式得:b^2=ac (1)(2c^2+2a^2-b^2)^2=(2b^2+2c^2-a^2)*(2a^2+2b^2-c^2) (2)(2)<==>6a^4+3a^2*c^2+6c^4-6b^2*(a^2+c^2)-3b^4=0 (3)将(1)式代入(3)式得:a^4+6c^4-ac*(a^2+c^2)=0 <==>(a^2+ac+c^2)*(a-c)^2 =0所以a=c,据此可求得:a=b=c.故△ABC的为等边三角形。 收起