1.若实数a，b满足a+2b=2,求3^a+9^b的最小值。 2.直角三角形三边之和为1，求该三角形的最大面积。 3.若正实数a，b满足ab=a+b+3，求ab及a+b的取值范围。 4.若x>0，y>0，且√x+√y≤a√（x+y）成立，求a的最小值解：1.利用均值不等式x²+y²≥2xy 3^a+9^b=3^a+3^2b≥2√[3^a*3^2b] 展开
1.若实数a，b满足a+2b=2,求3^a+9^b的最小值。 2.直角三角形三边之和为1，求该三角形的最大面积。 3.若正实数a，b满足ab=a+b+3，求ab及a+b的取值范围。 4.若x>0，y>0，且√x+√y≤a√（x+y）成立，求a的最小值解：1.利用均值不等式x²+y²≥2xy 3^a+9^b=3^a+3^2b≥2√[3^a*3^2b] =2√[3^(a+2b)] =6 2.设直角三角形直角边为a,b,斜边为c,则c^2=a^2+b^2 设a=csinα,b=ccosα,α∈(0,π/2);则 a+b+c=csinα+ccosα+c=1 面积 S=1/2ab=1/2c^2sinαcosα =1/4sin2αc^2≤1/4c^2 a+b+c=csinα+ccosα+c=1 ∴c=1/(sinα+cosα+1)=1/[√2sin(α+π/4)+1] ≥1/（√2+1） = √2-1 S=1/2ab=1/2c^2sinαcosα =1/4sin2αc^2≤1/4c^21/4 ≤1/4（√2-1)^2 3解法一：设ab=t，则a+b=t-3。 a、b是方程x^2-(t-3)x+t=0的两根， 则判别式≥0解得t≥9(t>0)。 解法二：利用三元均值不等式，ab=3倍的3次根号下(ab*3)，两边立方解得ab≥9。 解法三：易得a=(b+3)/(b-1)>0,b>1。 故a+b=(b+3)/(b-1)=(b-1)+4/(b-1)+2, ab=a+b+3≥9 ∴ab≥9,a+b≥6 4.解：由x+y ≥（√x+√y)^2/2得 √(x+y)≥（√x+√y）/√2 ∴（√x+√y）/√(x+y)≤√2 使√x+√y≤a√(x+y)(x＞0,y＞0)恒成立 即使（√x+√y）/√(x+y)≤a(x＞0,y＞0)恒成立 ∴a ≥（√x+√y）/√(x+y)的最大值 ∴a ≥√2，a的最小值为√2 收起
