初中等腰三角形

这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。己知 在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC.证明 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。在△BCF和△CBE中，因为BC=BC, BE=CF，∠BCF>∠CBE.所以 BF>CE。 (1)作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECG<∠EGC。故得 CE>EG=BF. (2)显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。 收起