数学归纳法

证明：当n=1时： 1/√1*2 =1/√2 <1 所以不等式成立。 假设n时不等式成立，即有： 1/√1*2 +1/√2*3 +…+1/√n（n+1）＜√n 则有： 1/√1*2 +1/√2*3 +…+1/√n（n+1）+1/√(n+1)（n+2）＜√n+1/√(n+1)（n+2） 而：n(n+1)+1>2√n(n+1) n^2+n+1>2√n(n+1) n^2+3n+2>[√(n+1)]^2+2√n(n+1)+(√n)^2 (n+1)(n+2)>[√(n+1)+√n]^2 √(n+1)(n+2)>√(n+1)+√n 1/√(n+1)（n+2）<1/[√(n+1)+√n] 又：1/[√(n+1)+√n]=[√(n+1)-√n]/{[√(n+1)+√n][√(n+1)-√n]}=√(n+1)-√n 故： 1/√(n+1)（n+2）<√(n+1)-√n 则：√n+1/√(n+1)（n+2）<√(n+1) 所以有： 1/√1*2 +1/√2*3 +…+1/√n（n+1）+1/√(n+1)（n+2）＜√(n+1) 即有n+1时不等式也成立。 因此，对任意n∈N+，都有1/√1*2 +1/√2*3 +…+1/√n（n+1）＜√n成立。 证毕。 收起