您好,父亲单位的公产房,父亲名字,我们居住近30年,户口在一起,其间母亲去世,我结婚后始终居住到现在

您好,父亲单位的公产房,父亲名字,我们居住近30年,户口在一起,其间母亲去世,我结婚后始终居住到现在,后来父亲再婚(己登记)到对方处居住,对方房产是其子女名,我想问,若父亲去世,我现住的公产房能否继续承租,父亲再婚配偶是否有权要求承租,若我想承租,是否需要父亲立遗嘱。